玖玖策略 985准大学生：暑期学习MIT《线性代数》课程，精神享受妙不可言！

【发表说明】

我家孩子皮克同学今年高考，被北师大哲学系录取。这个我在前文中汇报过了，详见：《》

今天的文章，是他应我之邀撰写的暑假学习线性代数的心得（为此我还给他付了一点稿费，以示尊重他的创作

）。

以下先交代一下本文的背景：

皮克同学的志向虽是哲学，但同时也超级热爱物理——主要是他在高中受到物理老师的激发，可见一个好老师对孩子的成长是多么重要！

他在高二、高三学业相当紧张时，还抽空自学了部分刚体力学、拉格朗日力学，号称“换换脑子”，弄得家长啼笑皆非

对于高等数学，他也很有兴趣。高一暑假，他就已经购买了《斯图尔特微积分读本》英文版，到高二寒假就已经全部自学完了。

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今年暑假高考完后，他老人家闲来无事，他说：既然大学还会学高等数学，那干脆把《线性代数》也学一下吧。

于是，我向他推荐了久负盛名的MIT教授Gilbert Strang的《线性代数》视频公开课。他只看了前两课，就彻底迷上了Strang和他的线性代数课，经常兴奋地给我讲述课程中的精彩内容。仅用了一个月的时间，就全部自学完成了（可能没有做很多练习题）。

——我一直觉得，我们对皮克教育，最让我们满意的是：无论成绩好坏（小时候成绩一直中等），他一直保持着对学习的巨大热情！学习，是他发自内心的需要和热爱，并非为了考试而学习。

在他快学完MIT《线性代数》时，我也让他看了一下同济版《线性代数》（这是国内最有影响力的教科书之一）。这本书在大学生中（包括已毕业多年的大学生）评价很差，被认为是“中国科技进步的滑滑梯”的杰出代表，详见：

他一看到本书的目录，顿觉非常不可思议，捧着头大声叫唤：

“啊？线性代数怎么能这么教呢？”、“只有定理、公式，没有来由、没有意义，这让人没法理解呀”，云云……

他并不知道：他感到差到不可思议的教材，才是国内所有大学生学习的“常态”！

而他能够在一开始，就跟世界级名师学习，既理解得深、学得好、又让人热爱学习、学习充满意义感，真是天大的造化！

——这个“造化”可能主要是我的贡献

。在他的成长经历中，我多次现身说法，用各种实例向他说明：国内的教材是没法看的，更别提自学了！想要学得好，一定要买世界上最优秀的优秀教材

比如：他高一时买的《斯图尔特微积分》是世界上最受欢迎的微积分教材，MIT Strang教授编的《线性代数》也同样如此。

好了，背景情况介绍完了，下面请看皮克同学的文章：我看两种不同体系的《线性代数》

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我看两种不同体系的《线性代数》

【摘要】本文将主要从知识的建构框架与可能的教学方法两种视角看同济版《线性代数》书籍与Gilbert Strang教授的18.06Linear Algebra 课程的异同，从笔者个人的视角主观地评价两种截然不同体系各自的优劣。

【正文】

这个暑假笔者在某课程平台上学习了Gilbert Strang 教授的18.06线性代数课程，并翻阅了同济版《线性代数》教材，对比笔者上课的笔记与同济版的内容，认为两个教学体系差距很大，于是有了比较两个体系异同的念头。

细看来，总计有三点较大的不同之处：

（一）主要受众与教学目的

（二）知识体系的建构

（三）概念与算法的介绍

其中，主要受众决定了教学（成书）目的，而教学目的又决定了知识体系的建构方式，而后者自然对应着较为合适的概念与算法的介绍方式。

先说结论：

（1）同济版线性代数，从主要受众上来看，是从中学阶段升入大学阶段的数学专业与理科相关专业的大学生。教学目的是短平快地掌握线性代数的运算方法，因而采用行列式-矩阵-线性方程组-线性相关-矩阵及其变换的“还原”式建构方法。（王珏老师注：这是他自己编的词）

引入较少，先给算法，再给证明，有部分地方省略证明过程，较为突兀。笔者认为其印刷版本开本小，更类似于“数学工具手册”，形如这种体系的书本在上世纪八十年代出版的数学图书中占较为主要的地位，更适合短、平、快地完成教学任务，尽早以此为基础投入学科运用。类似的有烟台师专版《解析几何》《微积分》等。

（2）Strang版线性代数，从主要受众来看是数学系的大一学生。教学目的是彻底了解并掌握线性代数的由来、算法、算法背后的数学图景和意义。因而采用解线性方程组-矩阵-线性相关-行列式及其性质-矩阵及其变换-简单运用的“引申”式建构方法，其教学顺序也就是数学史中线性代数作为一门工具大体被发明的顺序。

通过问题引入算法，进而得到更深层次的性质；不过于强调概念的严谨性，教学由浅入深，概念组织条理井然，数学算法意义明确。但是，某些算法由于课上时间有限缺乏证明，其应用领域广泛、方法复杂，一时间难以讲清楚，需要配合其讲义学习；并不面面俱到，择其要者讲之。

（王珏老师注：从皮克同学的字里行间，和我们平时经常说的“情境教学法”、“问题驱动”、“概念性理解”、“与经验的联接”、“情感（这里是意义感）驱动认知”、“不要教教材、而要用教材教”等教学理念和方法相当契合。）

以上是结论，下面我将从个人的感受，结合某些书中例子的比较，说明结论的正确性。

首先就课程开头来看，同济版注重于先打数学基础，以解线性方程组引入，从行列式讲起。笔者第一次看时觉得有些莫名其妙：为什么解线性方程组一定要与行列式联系起来？为什么又需要采用“主对角线法则”？

很明显，该章节意图在于先让我们记住其中的算法，再往后看就明白了。实际上也确实如此，学到线性方程组时我们会自然地将方程组-矩阵与行列式联系在一起，这就巩固了行列式运算记忆的熟练度，同时悟性高的同学会找到其意义。

但是，人的记忆是有限的。这样做的缺点在于——把数学书写成了哲学书，较为晦涩难懂，读者不易坚持下去。它们的区别在于，哲学书因为要讲述认知体系，由于是开创了这个新的体系，必须以明确定义、概念的方式为基础形成一门严谨而完备的学问，如《精神现象学》。然而数学教科书由于数学基础已经摆在了那里，前人的论述已经很完备了，完全可以寻找一种理解起来更为自然的方式建构——按数学史发现的顺序。

Strang的课程因此而令人眼前一亮。上来并没有直接给出难懂的定义，从解线性方程组入手，将未知数与系数分离，通过方程组、矢量运算的几何意义直观地引入了矩阵的概念。

比如对于任意一个多元线性方程组，横着看是解方程，竖着看则是取向量；随即又以向量之间的运算延拓到矩阵之间的运算，并给出四种理解方式：除去最常规的向量点乘外，若AB=C，那么A的行是B的行的线性组合；C是A的行乘B的列；将矩阵分块相乘仍可以得到正确结果。这种教授方式无疑加深了对于矩阵的理解，进而对于线性代数有了更直观，更整体的把握。

在教学体系上，二者差距也很大。同济版先给2、3阶行列式的算法然后全排列作为基础给出n阶行列式的算法，再给出性质，然后是代数余子式，克拉默法则，这当然可以让读者最快地掌握运算方法以投入使用。但笔者感觉课程排布有点散，稍作调整体系就可以很清楚。

Strang的线性代数，从完全不同的起点开始。首先从行列式应当具有哪些性质入手，推导出了定义明确，与矩阵强烈相关的行列式运算法则，笔者看完后感觉这是很自然的，除了一开始的某些人为规定外，并没有什么突兀之处。

其中当然有一些抽象难懂的东西，不过Strang教授通过先对二阶行列式运用再推广的方式，也即先特殊后一般的方法提供了一个符合直觉的理解方式。随后的事情就是一气呵成了——特征值和特征向量、矩阵对角化和相似矩阵…

这些在同济版线性代数中分散在各章节的东西被串在一起了，浑然天成；更神奇的是，经由特征值和特征向量并结合其意义，反向运用了线性方程组和矩阵的关系，利用递归或者数列的方法，将解差分/微分方程的复杂过程转化为了解线性方程组的简单过程，将看似毫无关系的东西的内在联系道出，妙不可言。一种无法形容的契合感涌上心头，而类似这样的精神享受不胜枚举，这让我真正理解了作为一门完备学科的线性代数在学科之内的紧密联系。

（王珏老师注：皮克同学的上述感受，再次验证了学习的底层规律：情感决定认知！一门学科能否为学生赋予美妙的情感——比如某种震憾、某种明悟、某种期待、心中产生的涟漪，是这门课能否打动学生、驱动学生主动学习必不可少的要素）

不过这里需要申明我对于两个体系在克拉默法则上的看法：克拉默法则在数学构造上可谓巧妙至极，但是复杂难用。两个体系都做到了这一点：作必要的介绍和简单运用，但不作为课程的主要部分讲授。（同济一节，Strang是小半节课）

最后单独谈一谈课程和书本各自的不同。

Strang教授，因其对线性代数的透彻理解和课程形式的便利，得以在学习前置知识时一直潜移默化地为后面知识铺垫。比如早在讲线性组合时，就开始有意识地引导学生们思考线性相关/无关的问题，讲正交矩阵等比较特殊的矩阵时还会提到正定矩阵；相对应的，求解零向量时引导复习零空间的定义。我认为这样的教学方式更适合学习线性代数，但是这对教师的要求极高，对于课程的设计要求也是极为严苛的。不单是同济版线性代数书，放眼全球，也许这样的课程也少见，可见其难以设计。

同济版本则更胜于严谨性和习题。作为一本数学工具手册，同济版确实讲到了基本所有算法，并且线性变换一章讲得更细致、更具体（笔者认为这正是Strang教授碍于时间没有做到的）。但是对于一些定理的证明方面，有所省略。我们当然可以查更多资料，加深对该定理的印象，但是教科书的严谨性正是在证明中体现的。教材从线性代数的数学基础行列式讲起，却省略了部分重要证明，让人感觉莫名其妙之外，也让笔者认为是舍本逐末了。当然，在习题数量与质量方面，同济版的书还是可圈可点的。

最后说明本文的局限性——把书本与课程对比，本身就有很大的局限。（他爹注：这一观点是正确的。不过，考虑到“照本宣科”是大中小学老师的通病，因此如果教材不行的话，很多老师也难以教好。其实，对于教育教学来说，老师的作用要远比教材重要得多！）

客观上来说，同济版线性代数确实也为课堂上的讲授留下了可观的发挥空间，如果二者得以互补，那么效果也足以让人领悟。对比的这种行为，也许首先就假定了书本与课程的水平是等同的，这样的假定并非在所有情况下都正确，因而带有很大的主观性。

读者大可以把它当作一篇非常主观的学习感想，而非严谨的论证。（他爹注：从这些话里，确实看出点哲学思辨能力了）

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很多家长指望报”辅导班“来帮孩子在竞争中获益。但是，大量研究表明：辅导班大概率不管用，主要是家长的心理安慰而已。

以皮克同学为例，他自初中后，无论学习有多么吃力，都没有上过任何辅导班（小学也主要是兴趣班），完全靠自己。

因此，在家庭教育中，真正重要的并非”学习“、更非”成绩“，而是如何培养孩子健全的人格、坚强的意志力，是帮助孩子始终保持学习的热情，是帮助孩子开展科学的学习方法！家庭教育，是一门很大的学问！

王珏老师把相关教育理论、育儿方法、学习指导方法、以及我本人的家庭教育经验，浓缩成了一门《家长脑科学》网络课程，相信会对家长大有裨益！

【课程适用对象】

3-17岁孩子家长

【课程定价】

本课程定价为：399元，永久可学。